數(shù)學(xué)的證明依靠嚴(yán)密的邏輯推理，一經(jīng)證明就永遠(yuǎn)正確，所以，數(shù)學(xué)證明是絕對的。相對而言，科學(xué)的證明則依賴于觀察、實驗數(shù)據(jù)和理解力，科學(xué)理論的證明難以達(dá)到數(shù)學(xué)定理證明所具有的絕對程度，只能提出近似于真理的概念。因此，在思維嚴(yán)密的數(shù)學(xué)家眼里，物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、天文學(xué)等自然科學(xué)都是經(jīng)驗科學(xué)。林家翹先生說，應(yīng)用數(shù)學(xué)家要將數(shù)學(xué)的嚴(yán)密和精確引入經(jīng)驗學(xué)科，將這些學(xué)科中的實驗問題歸結(jié)或表示為能夠用運算手段處理的數(shù)學(xué)問題，從而促進(jìn)經(jīng)驗科學(xué)的發(fā)展。

　　過去的經(jīng)驗告訴我們，所有的科學(xué)問題在本質(zhì)上都是簡單而有序的。物理學(xué)所有的定理都可以用數(shù)學(xué)公式在一張紙上表示出來，而與此同時，人類的智慧又堅持用簡單的概念闡明科學(xué)的基本問題，這樣做，數(shù)學(xué)就是一個基本的方法。

　　近代應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)端于英國，牛頓是應(yīng)用數(shù)學(xué)的鼻祖。為了解釋觀察到的大量天體運行的資料，解釋天體運行的基本規(guī)律(開普勒三大定律)，牛頓建立起天體運行的數(shù)學(xué)模型，提出了劃時代的三大力學(xué)定律和萬有引力定律。但是，力學(xué)定律的內(nèi)涵超越了那個時代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的范圍，牛頓不得不開拓新的領(lǐng)域，發(fā)明了微積分，然后再用微積分、力學(xué)定律和萬有引力，求得了行星運行的規(guī)律。在19世紀(jì)末的英國，所有的理論物理被稱為應(yīng)用數(shù)學(xué)。我在加州理工學(xué)院的博士導(dǎo)師馮·卡門也是一位應(yīng)用數(shù)學(xué)的實踐者和倡導(dǎo)者，他堅信自然界具有數(shù)學(xué)的本質(zhì)，并用他畢生的經(jīng)歷從那些光憑經(jīng)驗無法澄清的混沌領(lǐng)域中尋求數(shù)學(xué)解答。馮·卡門的導(dǎo)師是德國哥丁根大學(xué)應(yīng)用物理系主任、有“空氣動力學(xué)之父”稱號的普朗特爾教授，他最大的貢獻(xiàn)是闡明了飛機(jī)為什么會飛。他的一個科學(xué)準(zhǔn)則是“概括法”，即從一個復(fù)雜的物理過程中(無論是機(jī)器運行還是河水流動)概括出關(guān)鍵的物理因素，然后再用數(shù)學(xué)進(jìn)行分析。

　　馮諾依曼是20世紀(jì)最偉大的純粹數(shù)學(xué)家和應(yīng)用數(shù)學(xué)家，在他發(fā)表的150篇論文中，60篇研究的是純粹數(shù)學(xué)，60篇研究的是應(yīng)用數(shù)學(xué)，包括統(tǒng)計學(xué)和博弈論，那篇著名的會客室博弈論文就是他在20歲那年完成的。他和莫根施特恩合作的《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》在1944年出版，在這部著作中他們將數(shù)學(xué)科學(xué)的邏輯語言，尤其是集合論與組合數(shù)學(xué)方法，應(yīng)用到社會理論的改革過程中，將經(jīng)濟(jì)學(xué)置于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)上。評論員赫維茨認(rèn)為“只要再有10部這樣的著作，經(jīng)濟(jì)學(xué)的未來就有保障了”。學(xué)生們將這本書稱為“那部《圣經(jīng)》”。馮·諾依曼勇敢無畏地走出數(shù)學(xué)領(lǐng)域，他應(yīng)用相似的方法解決不同的問題的成功經(jīng)歷，激勵著年輕的天才競相仿效，約翰·福布斯·納什就是其中一位。納什證明的均衡定理推廣了馮·諾依曼定理，成功地打開了將博弈論應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)學(xué)、政治學(xué)、社會學(xué)及至進(jìn)化生物學(xué)的大門。納什也因博弈論定理的證明獲得了1994年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。這是應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展經(jīng)濟(jì)科學(xué)的最新例證。

　　二次世界大戰(zhàn)極大地推動了應(yīng)用數(shù)學(xué)的獨立發(fā)展，取得了蔚為壯觀的成就。這場戰(zhàn)爭引起了一系列科學(xué)和技術(shù)的競爭，并在戰(zhàn)后的年代里，在航空航天、通訊、控制、管理、設(shè)計和試驗等方面，讓人們感受到數(shù)學(xué)嶄新的力量。20世紀(jì)數(shù)學(xué)的成就，可歸入數(shù)學(xué)史上最深刻的成就之列，應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算機(jī)科學(xué)成為科學(xué)技術(shù)取得重大進(jìn)步的重要因素，它奠定了現(xiàn)代科學(xué)和工業(yè)技術(shù)時代發(fā)展的基礎(chǔ)。